Toán Học Trong Puella Magi Madoka Magica – Khi Tình Yêu Được Chuyển Thành Những Con Số.

Puella Magi Madoka Magica là một Anime có thể được liệt vào hàng classic, nhất là ở bên Nhật khi độ phủ sóng của bộ phim này rất lớn. Phim sử dụng một hướng tiếp cận khác với chủ đề đã quá đỗi nổi tiếng là Mahou Shoujo (Ma pháp Thiếu nữ), vẫn giữ những gì đặc trưng nhất của dòng phim nhưng lại lồng thêm những yếu tố tâm lý và nặng trừu tượng không dành cho trẻ em.

Ngoài ra còn có 1 yếu tố nữa, một yếu tố phụ nhưng được đề cấp đến rất nhiều xuyên suốt cốt truyện – Toán Học. Bài tập đầu tiên ta thấy Homura giải là một bài Đại Số, cách để tìm ra Walpurgisnacht là Số Liệu, và thậm chí cô cũng dùng Toán học để chiến đấu với chính Walpurgisnacht. Lạ kỳ hơn, đó chính là ta chỉ thấy Homura sử dụng Toán trong phim, không có các nhân vật khác. Liệu có thể ngầm hiều rằng những con số trong đây tượng trưng cho chính Homura, thể hiện rõ định mệnh của cô thông qua những con số tưởng chửng như vô hồn? [Hình các bài toán sẽ để dưới phần cmt]

.

◆ Tập 1:

Vấn đề 1: Mọi số nguyên chia cho 14 sẽ có dư từ 0 đến 13. Cho biết a có dư là 6 và b có dư là 1 khi chia cho 14, dư của x là bao nhiêu khi chia cho 14, cho x là số nguyên nghiệm x2−2ax + b = 0?

Bài toán này có 2 cách giải, cách đầu tiên và cũng là đơn giản nhất đó chính là sư dụng Số học Mô-đun:

• a≡6 (mod14);
• b≡1 (mod14).
• x2−2ax+b=0 > x2−12x+1≡0(mod14)
• x2+2x+1≡0(mod14) (vì −12≡2(mod14))
• (x+1)2 ≡0(mod14)
• x+1≡0(mod14) (vì 14 không phải số chính phương)
• x≡13(mod14) (vì −1≡13(mod14))
Ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng nghiệm đó chia cho 14 sẽ dư được 13, tuy nhiên trong phim Homura lại quyết định sử dụng một cách giải thuần số học:

Giả sử rằng x=14q+r,a=14s+6,b=14t+1.

Thay vào x2−2ax+b=0 ta được

x2−2ax+b=14c+(r+1)2=0 với c=14q2+2q−28qs−2rs−12q+t−r

14 chia cho 14c và 0 > (r+1)2. Từ đó suy ra r+1 chia được cho 14.

Câu hỏi yêu cầu số dư r nằm giữa 0 và 13, từ đó suy ra r=13.

-Đáp án thì vẫn đúng thôi, mặc dù ngụ ý của tác giả rất rõ. Homura sau hàng trăm lần quay về quá khứ, cô vẫn chọn giải đi giải lại 1 cách duy nhất, thể hiện rõ sự bế tắc khi lặp đi lặp lại 1 dòng thời gian mà không thể ra được kết quả mình cần. Số 13 cũng là một số không hề đẹp, đồng thời cũng ám chỉ rằng bộ phim sẽ được kết thúc ở tập 13 (12 ep ngắn và 1 tập Movie). 2 bộ Movie còn lại là 2 bộ recap lại 12 tập đầu nên mình sẽ không không tính.

.

Vấn đề 2: Giả sử p là số nguyên tố và n là số tự nhiên tùy ý, chứng minh rằng (1 + n) p − np − 1 chia hết cho p.

Vấn đề này tương tự vấn đề trên, có 2 cách giải, đầu tiên là sử dụng Định lý nhỏ Fermat:
ap≡a(modp)
Suy ra:
(1+n)p−np−1(modp) > (1+n)−n−1(modp) > 0(modp)
>Biểu thức tổng thể chia hết cho p.

Nhưng một lần nữa, Homura lại chọn cách giải oằng tà bà lằng hơn đó là sử dụng Định lý Nhị thức, hay còn được gọi là Nhị thức Newton:

Đối với a, b không bằng 0 và số nguyên p không âm, ta có:
Đối với a, b không bằng 0 và số nguyên không âm p, ta có:
(a + b)p = p∑k = 0 (p/k) ap − kbk
Trong đó hệ số nhị thức (p/k) là số nguyên p (p − 1) ⋯ (p − k + 1) / k (k − 1) ⋯ 1 với 0≤k≤p.
Suy ra: (1 + n)p = p∑k = 0 (p/k) nk và (1 + n)p – np − 1 = p∑k = 1 − 1 (p/k) nk
Vì (p/0) = (p/p) = 1 suy ra (p/1) = p. Vì p là số nguyên tố nên thừa số p trong (p/k) không chia hết cho k, k − 1,…, 2 với 2≤k≤p − 1. Do đó, p chia (p/k) được 1≤k≤p − 1.
Vì mỗi tổng và ở vế phải chia hết cho p nên tổng toàn bộ, tức là vế trái cũng chia hết cho p.

-Vẫn vậy, Homura lặp đi lặp lại những cách làm y hệt nhau, cũng như cách cô lặp đi lặp lại 1 cách để cứu Madoka – ngăn cô bé trở thành Puella Magi. Kẹt trong 1 vòng lặp vô tận mà không hề có lời giải đáp, Homura gần như bị bế tắc trong một mê cung đường thẳng mà chính cô tạo ra. Cô cứu Madoka một cách vô vọng, cứu nhiều đến mức mà số mệnh đảo ngược, giờ đây cô mới chính là người cần được Madoka cứu.

.

Vấn đề 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình a3 + a2 – 1 – ( a – 1)b = 0

Câu này thì là một câu Đại Số đơn giản thôi, tuy nhiên ý nghĩa và ẩn ý của tác giả không nằm ở cách giải như 2 câu trên, mà là ở kết quả:
(a3 + a3 − 1) − ( a − 1)b
= ( a3 − 1) + ( a2 − 1) + 1 − ( a−1)b
=(a−1)( a2 + a + 1) + (a−1)(a + 1) + 1− (a−1)b
=(a−1)(a2+2a−b+2) + 1 = 0
Suy ra: (a−1)(a2 + 2a – b + 2) = − 1
a, b là các số nguyên, do đó các thừa số a − 1 và a2 + 2a − b + 2 cũng là số nguyên. Vì tích là −1 nên một trong các thừa số phải bằng −1, thừa số còn lại bằng 1.
Nếu a − 1 = −1 thì a = 0 và từ a2 + 2a − b + 2 = 1 ta thu được b = 1.
Nếu a − 1 = 1 thì a = 2 và a2 + 2a − b + 2 = −1 > b = 11.
Có hai nghiệm nguyên: (a, b) = (0,1) hoặc (a, b) = (2,11).

-Một chi tiết rất hay được ẩn ở trong 2 đáp án của bài. Một chi tiết thú vị được lồng ghép rất khéo, vì tập 2 cũng như tập 11, là 2 điểm mấu chốt cho dòng lặp thời gian vô tận của Homura. Tất cả đều sẽ dẫn về tập 1, khi mà cô không thể xử được tất cả bản thể của Kyubei, hoặc ở tập 11 khi Madoka quyết định trở thành Puella Magi. Nếu cả 2 kế hoạch này đều thất bại, cô sẽ phải reset lại từ đầu và làm lại tất cả. Cô chỉ có đúng 2 cách này để giải cứu Madoka, được thể hiện qua tất cả các bài toán nêu ra đều chỉ có đúng 2 cách làm, và Homura luôn chọn cách dài hơn, khó làm hơn và tất nhiên, đau khổ hơn. Cái bài toán này cũng có 2 cách giải, tuy nhiên mình lười và sẽ không nêu cách 2, nó sử dụng phép chia đa thức thôi.

.

Vấn đề 4: Cho f(x)= (4x – sqrt(4×2-1))/ (sqrt(2x+1)-sqrt(2x-1)), tính f(1)+f(2)+f(3)+….f(60)

Câu này thì sử dụng HĐT (a−b)(a+b) = a2−b2 là ra, đáp án là 665. Trong Anime, bài giải của Homura trong đó có mắc lỗi sai, số mũ bị đặt sai và thiếu mất 1 dấu cộng.

Con số 665 được thể hiện ở đáp được rất nhiều người trong cộng đồng cho rằng đó chính là số lần Homura đã tua ngược lại thời gian. Vậy mà trong 665 lần giải đi giải lại 1 bài toán này, Homura vẫn mắc đi mắc lại những lỗi đó, thành ra dòng thời gian mà cô tìm kiếm không bao giờ xảy ra. 665 lần đi qua thời gian, là 665 lần cô mắc lỗi và 665 lần chứng kiến Madoka ch.ết. Tập phim bắt đầu ở 665, tức đây đã là lần tua lại thứ 666. Một con số mà có lẽ rất nhiều người biết – con số của Quỷ. Ở đây, khi mà Madoka đã thoát khỏi vòng luân hồi thiên kiếp – trở thành Chúa trời, thăng hoa thành 1 khái niệm ngang với Đấng sáng tạo, thì Homura lại chìm trong chính Soul Gem của mình, trở thành phù thủy và cuối cùng, kéo ngã Madoka khỏi địa đàng, biến thành một bản thể đối lập với cô – Ác Quỷ.

.

◆Tập 8:

-Homura đã dự đoán điểm xuất hiện của Walpurgisnacht bằng cách sử dụng số liệu thống kê. Trong đống tài liệu mà Homura đưa cho Kyoko xem, ta có thể thấy được một hồi quy hình sin, trong đó dữ liệu chuỗi thời gian được giả định tuân theo một đường cong hình sin theo thời gian và các thuộc tính (biên độ, tần số, pha) của sóng hình sin được dự đoán thông qua thống kê. Với mục đích là dự đoán vị trí của Walpurgisnaicht, thống kê được thực hiện bằng cách này sẽ sử dụng tọa độ địa lý (kinh độ và vĩ độ) làm điểm dữ liệu quan sát và để ghép hai sóng hình sin khác nhau với dữ liệu, một cho kinh độ và một cho vĩ độ. Trong phòng của Homura cũng có 1 con lắc lớn, có thể là bằng chứng cho thấy cách giải thích này đúng bởi vì những gì Homura sử dụng là một hồi quy hình sin, tương tự với sự chuyển động cơ học của một con lắc.

.

◆Tập 9:

Vấn đề 5:
Dãy số {F (n)} có thể được xác định là F (1) = 1, F (2) = 1, F ( n + 2) = F ( n) + F ( n + 1) (trong đó n∈N ) , đây được gọi là dãy Fibonacci, biết :
F ( n) = φn – (- 1 / φ) n5 – √
φ = 1 + 5 – √2≈1,6180339887…
Trả lời các câu hỏi sau bằng cách sử dụng thông tin này nếu cần:
Xác định dãy số tự nhiên {X ( n)} (với n là số tự nhiên bất kỳ), trong đó mỗi chữ số là 0 hoặc 1, được đặt theo các quy tắc sau:
(i) X (1) = 1
(ii) Chúng ta định nghĩa X ( n + 1) là một số tự nhiên, có thể nhận được bằng cách thay các chữ số của X ( n) bằng 1 nếu chữ số là 0 và với 10 nếu chữ số là 1.
Ví dụ: X (1) = 1, X (2) = 10, X (3) = 101, X (4) = 10110, X (5) = 10110101,…
(1) Tìm A ( n), được xác định là số chữ số của X ( n).
(2) Tìm B ( n), được xác định là số lần ’01’ xuất hiện trong X ( n)? Ví dụ: B (1) = 0, B (2) = 0, B (3) = 1, B (4) = 1, B (5) = 3,…

– Bài toán khó nhất trong toàn bộ phim, một vấn đề số học nâng cao từng được xuất hiện trong đề vào của Đại Học Tokyo. Có lẽ với Homura, đây cũng là bài toán chất chứa nhiều nỗi đau nhất. Đề bài như một lời nhắc, rằng tập tập 10 của phim chính là tập 1 của người xem, tức là khởi đầu dòng thời gian của Homura là bắt đầu từ tập 10, và tập 1 là tập 0. Đó chính 1 tháng mà Homura đã lặp đi lặp lại 666 lần để cứu Madoka, cho đến khi tập 11 và 12, khi chính Madoka là người đã phá vỡ vòng lặp đó để trở thành Chúa.

– Đáp án của câu A chính là dãy Fibonacci được đề cập bên trên, một dãy số vô hồn 1,1,2,3,5,8 quen thuộc , nhưng với Homura, nó lại khác hoàn toàn. 666 lần quay lại đó, nỗi đau của cô được nhân lên bao lần, thể hiện bao nhiêu qua dãy số vô tận này? Xin thưa các bạn, đó là một con số không tưởng:
F(666) = 2^3*17*19*73*149*1999*2221*4441*12653*146521*1121101* 14678641*54018521*124134848933957*1459000305513721* 930507731557590226767593761*44566024170973871368464275116992799

– Đáp án của câu B thì cũng tương tự, nhưng nó giống như đã nhấn mạnh lại ý kiến đã nêu ở trên, rằng vòng lặp của Homura bắt đầu từ tập 10 và nên được xem là tập 1, vì dãy số kết quả được thể hiện nó sẽ nhảy liên tục 1 và 10, 1 và 10, 1 và 10, 1 và 10.

.

◆Tập 11:

– Qua những mảnh giấy bay đi trước khi cô đánh với Walpurgisnaicht, ta có thể thấy được trên đó là những tính toán được thực hiện bằng tay bởi Homura. Rất có thể, đây là bảng tính đường bay đạn đạo của mấy khẩu bắn tên lửa. Hai cặp X và Y trên mỗi tờ, tổng 4 tờ, tức là sẽ có 8 phát bắn được khai hỏa.

.

Đúng như một người anh của mình đã từng nói, Toán Học chính là loại ngôn ngữ thuần khiết nhât, và mình không thể có ví dụ nào tốt hơn những bài toán trong bộ phim này. Một trong những Anime mình thích nhất, và một trong những Anime đầu tư chất xám nhất mình từng được xem. Mong là mọi người thích bài của mình để mình có thêm động lực viết thêm nhiều bài nữa trong tương lai!

Người viết: Kirihime